에지워드 박스(Edgeworth box) 소개 - 하

Posted by 0E1B
2017.12.24 16:46 물리 수학

이전글 [에지워드 박스(Edgeworth box) 소개] 에서 에지워드 박스에 대해 소개해보았습니다. 이번 글은 예산제한이 있을 때, 거래를 에지워드 박스를 통해 표현해보려고 합니다.


변수 정의

$x_{in}$ : i번째 사람이 n번째 재화를 소비(구매)하는 양

$w_{in}$ : i번째 사람이 n번째 재화를 공급(판매)하는 양

$p_n$ : n번째 재화의 가격


어떤 재화를 구매(소비)하거나 판매(공급)했을 때 지출은 (가격X소비량), 소득은 (가격X공급량)입니다. 합리적으로 소비를 하는 사람이라면 지출이 소득을 넘어가지 않을겁니다. 총 지출이 총 소득보다 작아야한다는 조건을 '예산 제약'이라고 합니다. 위의 변수를 사용하여 기본적인 수식을 정의합니다.

$$소비량 : x_i = (x_{i1}, x_{i2}, ... x_{in})$$

$$공급량 : w_i =(w_{i1},w_{i2},... w_{in}) $$

$$가격 : p =(p_{1},p_{2},... p_{n}) $$

$$총 지출 : \sum {p_n x_{in}} = p \circ x_i$$

$$총 소득 : \sum {p_n} w_{in} = p \circ w_i$$

$$예산제약 : \ 총소득 \ge 총소비$$


[그림1] (좌) 자원 분배, (우)예산선


애지워드 박스를 통해 수요와 공급, 그리고 가격변동을 설명할 수 있습니다. 예를 들어봅시다. 철수가 연필(재화1)과 지우개(재화2)를 각각 $(w_{11},w_{12})$만큼 갖고 있습니다. 연필과 지우개의 가격이 각각 $(p_1,p_2)$일 때, 철수가 연필을 $\Delta w_{11}$만큼 팔아서 지우개를 $\Delta x_{12}$만큼 산다고 합시다. 이 때, 철수의 예산제한을 생각해봅시다.

$$p_2 \Delta x_{12} \le p_1 \Delta w_{11}$$

[그림2] (좌) 철수의 예산 영역 (우) 효용이 최대가 되는 점


철수가 예산제한을 넘지 않고 경제활동을 할 수 있는 영역은 [그림2]와 같습니다. 예산 영역 안에서 철수의 효용이 최대가 되는 점은 예산선과 무차별 곡선이 서로 접할 때입니다. 철수는 자신의 효용이 최대가 되는 방향으로 거래를 하려고 하기 때문에, 연필(재화1)을 팔아 지우개(재화2)를 살 것입니다. [그림2]의 오른쪽 그림에서 좌표의 이동을 통해 철수가 어떤 경제활동을 하려고 하는지 알 수 있습니다.


(참고) 예산선 상에서 $p_2 \Delta x_{12} = p_1 \Delta w_{11}$이므로,

$$기울기 = -\frac{\Delta x_{12}}{\Delta w_{11}}=-\frac{p_1}{p_2}$$


이제 철수와 영이가 연필과 지우개를 서로 교환하는 것을 생각해봅시다. 가격은 변하지 않으므로, 철수와 영이의 예산선은 서로 같습니다. 이를 에지워드 박스로 나타내면, 예산선을 기준으로 철수와 영이의 예산 영역이 나눠집니다. 

[그림3] 철수와 영이의 예산영역과 효용 최대점


[그림3]과 같이 예산 영역 안에서 철수와 영이의 효용을 최대로 하는 점을  각각 $x_1^*$, $x_2^*$이라고 합시다. 철수와 영이는 서로 자신의 효용을 최대로 하는 점으로 가려고 할 것입니다. 이 과정에서 초과공급과 초과수요가 생깁니다. 초과공급의 경우 가격이 내려가고, 초과수요의 경우 가격이 올라갑니다. 


[그림4] 초과 공급과 초과수요로 인한 가격변동


[그림4]에서 철수와 영이 모두 자신의 효용을 최대로 만들기 위해서는 연필(재화1)을 팔고 지우개(재화2)를 구매해야 합니다. 연필의 경우, 시장에서 유통되는 양$(공급량 w_{11}+w_{21})$이 시장에서 필요로 하는 양$(수요량 x^*_{11}+x^*_{21})$보다 많기 때문에 초과공급 상태가 되어 가격이 떨어집니다. 마찬가지로 지우개(재화2)는 초과 수요 상태가 되어 가격이 올라갑니다. 가격이 변하면 예산선도 재설정됩니다. 아래 [그림5]처럼 예산선의 기울기는 완만해지는 방향으로 바뀝니다.  

[그림5] 수요와 공급이 같아질 때까지 가격을 바꾼다. 



이렇게 만들어진 평형점이 철수와 영이의 효용을 최대로 하는 점입니다. 


마치며

필자는 물리학을 공부하면서 수학과 현실세계가 어떻게 연관되어있는지 관심이 많았습니다. 그러다 문득 수학을 사용하는 다른 학문들은 어떤 방식으로 수학적인 사고를 형성해가는지 궁금해서 경제 수업을 들었고, 에지워드 박스라는 개념이 신선해서 이렇게 개시글로 준비하게 되었습니다. 설명이 경제학을 공부하는 분들에게는 다소 불친절해 보일 것 같아 걱정입니다. 이 블로그는 독자를 물리학을 공부하는 학부생이라고 생각하고 쓴 것이기 때문에 다소 설명이 난해하더라도 양해를 바랍니다. 

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