차원 : 수학적 차원과 물리적 차원

물리학에서 차원이 의미하는 것이 무엇일까요? 생각보다 많은 사람들이 '차원'이 무엇인지 잘 모르는 것 같습니다. 우리가 살고 있는 세계는 3차원인가 4차원인가? 에 대한 답과 '차원'이란 용어가 수학과 물리에서 어떤 의미로 쓰이는지 알아보겠습니다. 

 

수학적 차원

가장 많은 사람들이 떠올리는 차원은 기하학적 의미에서의 차원입니다. 

0차원 : 점 (위치)

1차원 : 선 (위치, 길이)

2차원 : 면 (위치, 길이, 면적)

3차원 : 입체 (위치, 길이, 면적, 부피)

4차원 이상 : 초입체

 

기하학적인 의미에서 차원은 공간을 구성하고 있는 서로 수직인 방향의 개수라고 생각할 수 있습니다. 예를 들어 좌표평면은 서로 수직인 방향이 x, y 뿐이어서 2차원, 좌표공간은 x,y,z 세 방향이므로 3차원이라고 생각하는 것이죠. 보다 일반적으로 사용하고 있는 차원의 개념은 선형대수학에서 정의한 차원의 개념입니다.

 

선형대수학에서 차원을 쉽게 표현하면 서로 선형 독립(linearly independent)인 변수의 개수입니다. 선형 독립인 변수란 다른 변수들을 적당히 더해서 만들 수 없는 변수입니다. 예를 들어 좌표공간에서 x축 방향 벡터와 y축 방향 벡터를 아무리 많이 더해도 z축 방향 벡터를 만들 수 없습니다. 이런 상황에서 z 방향 벡터는 x 방향 벡터와 y 방향 벡터에 선형 독립이라 할 수 있습니다. 서로 이런 관계인 있는 변수들의 개수를 세어 차원이라 합니다.

 

물리적 차원

물리적인 의미에서의 차원은 물리적인 성질입니다. 물리에서 차원은 이 질문 하나로 명료해집니다.

 

1cm가 큰가요, 1초가 큰가요?

 

이 질문은 넌센스처럼 보입니다. 왜냐하면, 1cm는 공간의 길이를 나타내는 물리량이고, 1초는 시간의 흐름을 나타내는 물리량이기 때문에 비교할 수 없습니다. 이렇게 직접 비교할 수 없는 물리적인 성질을 차원이 다르다고 합니다. 에너지, 운동량, 전하량, 힘, 부피, 넓이 등이 갖는 '단위'가 그 물리량의 차원을 나타냅니다. 

세상은 3차원? 4차원?

'우리는 3차원 공간에 살고 있다.' 라는 말을 한다면 그건 '우리가 사는 세계의 공간은 미터의 단위를 갖는 변수 3개 (x,y,z)로 표현이 가능하다.'라는 뜻입니다. 누군가 '우리는 3차원 공간에 시간 축을 더해 4차원 세계에서 살고 있다.'라고 말은 한다면, 이 사람은 아인슈타인의 생각을 인용해서 한 것일 겁니다. 이 말을 얼핏 들으면 '우리 세계는 모든 것이 변하고 계속 움직이기 때문에 시간도 고려해야 한다.' 혹은 '누군가를 만나기 위해서는 같은 시간에 같은 장소에 있어야 한다.' 등으로 들릴 수 있습니다. 틀린 말은 아닙니다. 하지만 그런 생각은 뉴턴 이전의 사람들도 했던 생각입니다. 아인슈타인이 시간에 대한 변수를 포함한 이유는 '모든 위치에서 시간이 흐르는 정도가 다를 수 있기 때문'입니다. 공간은 일그러져있고, 그 공간의 일그러진 정도(곡률)가 중력에 비례하며, 물체가 움직이는 속도와 물체에 작용하는 중력의 크기에 따라 시간이 흐르는 속도가 달라지기 때문에, 어떤 물체를 표현하기 위해서는 공간 좌표상의 위치뿐만 아니라 그 물체의 시간까지 함께 고려해야한다는 것입니다. 

우리가 3차원 공간에 있다는 것을 어떻게 알 수 있는가?

등배분 정리에 대해 자세히 아는 사람이라면 이 질문에 답을 할 수 있을 것입니다. 등배분정리는 이상기체의 평균 운동에너지가 이상기체의 자유도와 온도에 비례한다는 것을 보여주는 식입니다. 이 정리에 따르면 충분히 많은 수의 이상기체의 운동에너지를 측정하고, 그 공간에서의 온도를 측정하면 이상기체가 운동할 수 있는 자유도에 대해 알 수 있습니다. 회전운동에 대한 자유도를 제외하고 병진운동에 대한 자유도를 구하면 그 공간이 기하학적으로 몇 차원인지 알 수 있습니다.

마치며

'차원'이란 용어가 수학과 물리에서 어떤 의미로 쓰이는지 살펴봤습니다. 위에서 소개한 '차원'의 개념이 어떻게 사용되는지, 수학에서 쓰이는 벡터공간(verctor space)과 물리에서 사용하는 차원해석(Dimensional Analysis)에 대해 써보려고 준비 중입니다. 긴 글 읽어주셔서 감사합니다.