테일러 근사법과 오차, 신기한 특징 3가지

테일러 정리는 해석함수를 어떤 점$x=a$ 근처에서 다항함수의 합으로 표현할 수 있다는 이론입니다. 해석함수를 적당히 $n$차 다항함수로 근사하는 것을 테일러 근사법이라고 합니다. 자주 사용하는 예시와 테일러 급수의 점화식을 구하는 방법을 살펴보도록 하겠습니다.

테일러 근사법 예시

$$x \ll 1 \:이나\: x \rightarrow 0 \:일 때,$$

$$\tan(x)=x \tag1$$

$$\sin(x)=x \tag2$$

$$\ln { (1+x) } =x \tag3$$

$$e^{ nx }=1+nx \tag4$$

$$(1+x)^{ n }=1+nx \tag5$$

$$\cos(x)=1-\frac{x^{2}}{2} \tag6$$

위의 식은 테일러 급수에서 적당히 2차 항 전후로 버린 것입니다. 

필요성

정신건강과 컴퓨터 계산 속도에 좋습니다. $\sin x$, $\cos x$, $e^x$, $\ln x$, $(1+x)^n$ 등이 잔뜩 들어간 식을 위의 예시를 대입해서 정리한다면 세상에 어려운 문제가 없을 것 입니다. 테일러 근사법은 의외로 오차가 매우 적은 방법이기 때문에여기저기서 널리 사용합니다. 다음과 같은 상황에 자주 사용합니다.

1. $x \ll 1$인 상황에서 함수값이나 극한값을 구할 때 사용합니다. 

2. 컴퓨터가 $\sin(x)$, $\cos(x)$, $e^x$, $\ln(x)$ 등의 그래프를 그릴 때 사용합니다.

3. 컴퓨터 시뮬레이션 알고리즘을 만들 때 기초가 됩니다. (verlet 알고리즘)

4. 적분하기 어려운 함수를 테일러 근사를 이용해 적분해내는 경우가 있습니다. (좀머펠트 전개)

5. 실험 데이터를 분석할 때 사용합니다. 데이터를 테일러 전개하여 $x^n$항마다 의미를 부여합니다. 

테일러 급수 점화식

$$f{(x)} = a_0 + a_1 (x-a)+ a_2(x-a)^2+\cdots a_n (x-a)^n \cdots \tag7$$

점화식 $a_n$을 구하는 아이디어는 미분과 대입입니다. 차수가 낮은 항은 미분해서 0으로 만들고, 차수가 높은 항은 $x=a$를 대입해서 0으로 만듭니다. (7) 식에 미분을 하고 $x=a$를 대입하는 과정을 몇 번 반복해보겠습니다.

$f{(x)}$를 $x$로 n번 미분했다는 표시를 $\frac{d^n}{dx^n}f(x)$ 대신에 위에첨자를 사용하여 $f^{(n)} {(x)}$쓰겠습니다.

$f^{(0)} {(a)} = a_0 + a_1 (x-a)+ a_2(x-a)^2+\cdots a_n (0)^n \cdots =a_0$

$f^{(1)} {(a)} = a_1 +2a_2 (x-a)+ 3a_3(x-a)^2+\cdots na_n (x-a)^{n-1} \cdots=a_1$

$f^{(2)} {(a)} = 2a_2 +6a_3 (x-a)+ 12a_4(x-a)^2+\cdots n(n-1)a_n (x-a)^{n-2} \cdots=2a_2$

$f^{(3)} {(a)} = 3!a_3 +24a_4 (x-a)+ 60a_5(x-a)^2+\cdots n(n-1)(n-2)a_n (x-a)^{n-3} \cdots=3!a_3$

이 과정을 반복하다보면 $f^{(n)}{(a)} = n! \: a_n$임을 알 수 있습니다. 

$$\large a_n = \frac{1}{n!} f^{(n)} {(a)} \tag8$$

이 점화식을 이용하여 테일러 급수를 나타내면 (9) 식과 같습니다.

$$\large f{(x)} = \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{1}{n!} f^{(n)}{(a)} \right) (x-a)^n \tag9$$

테일러 급수 예시

$$e^{ax}=  \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(ax)^n}{n!}$$

$$\cos(x)=  \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{x^{2n}}{(2n)!}(-1)^n \right)$$

$$\sin(x)=  \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}(-1)^n \right)$$

테일러 근사의 오차

함수$f(x)$를 테일러 전개하여 $m-1$번째 항까지 쓰고 그 뒤를 버렸다고 합시다. 이 때 버려지는 부분을 $R_m$으로 나타냅시다. $R_m$이 테일러 근사의 오차입니다. 

$$\large f{(x)} = \sum_{n=0}^{m-1} \frac{(x-a)^n }{n!} f^{(n)}{(a)} \; + \; R_m$$

$$R_m = \sum_{n=m}^{\infty} \frac{(x-a)^n }{n!} f^{(n)}$$

$R_m$의 크기를 예상하는 방법은 괭장히 쉽습니다. 바로 $R_m$의 초항과 비슷하다고 생각하는 것입니다. 

$$R_m = \sum_{n=m}^{\infty} \frac{(x-a)^n }{n!} f^{(n)}{(a)} \overset{?}{=} \frac{(x-a)^m}{m!}$$

그 이유는 대략 이러합니다. 시그마 안에 들어있는 항을 자세히 보시기 바랍니다. $x$는 작은 수이기 때문에 $x^n$은 엄청 작은 수입니다. 그리고 이 값을 $n!$으로 나누고 있습니다. $n$값이 커짐에 따라 더하게 되는 수는 무려 (기하급수X팩토리얼)의 속도로 매우 빠르게 작아집니다. 그래서 $R_n$에 대한 무한급수의 크기는 초항의 크기와 크게 다르지 않습니다. 초항에서 $f^{(m)}(a)$의 크기는 함수마다 다르고, $\frac{(x-a)^m}{m!}$와 비교해 그렇게 큰 의미 없습니다. 그래서 오차의 크기는 대충 $\frac{(x-a)^m}{m!}$와 비슷한 수라고 생각할 수 있습니다. $$R_m \approx \frac{(x-a)^m}{m!}$$

신기한 특징 3가지

태일러 근사법은 신기한 특징이 많습니다. 개인적으로 가장 신기한 특징 3가지만 소개하고 마치도록 하겠습니다.

1. e의 정의식

$$\lim_{n \rightarrow \infty} (1+ \frac{1}{n})^n \equiv e \tag {10}$$

(10) 식은 오일러가 처음 자연상수 e를 정의할 때 사용한 식입니다. 이 식을 테일러 근사법을 사용해서 설명할 수 있습니다. (4) 식과 (5) 식을 연립합니다. 

$$(1+x)^n = e^nx = 1+nx \tag{11}$$

테일러 근사가 성립하기 위해서는 $x$가 매우 작아야 합니다. 이 조건을 $x=\frac{1}{n}$일 때, $n \rightarrow \infty$으로 바꾸어 (11) 식에 대입합니다.  

$$(1+\frac{1}{n})^n = e^{n\frac{1}{n}} = 1+n\frac{1}{n}$$

$$\lim_{n \rightarrow \infty} (1+ \frac{1}{n})^n = e =2$$

e=2라는 이상한 결론이 나온 이유는 두 식을 1차 항까지만 근사해서 생긴 것 입니다. 

2. 두배각 공식

(6) 식을 정리하면 $\cos(x) = 1-2(\frac{x}{2})^2$ 입니다. 한편 (2) 식에 의해 $\sin(\frac{x}{2})=\frac{x}{2}$이므로 앞에 식에 대입하면 두배각 공식을 얻는다.  $$\cos(x) = 1-2 \sin^2 (\frac{x}{2}) \tag{12}$$

3. 오일러 공식 

$$e^{i \pi}-1=0$$

이 식이 그 유명한 $e$, $i$, $\pi$, $1$, $0$과 합$(+,-)$과 곱(지수형)이 모두 들어간 오일러 공식입니다. 이 공식도 테일러 근사법을 사용하면 괭장히 간단하게 보일 수 있습니다. $e^{(ax)}$를 2차 항까지 근사시키고 $a=i$를 대입한 후 (2) 식과 (6)식을 대입하면 됩니다.

$$e^{ax}=  1 + ax + \frac{(ax)^2}{2}$$

$$e^{ix}=  1 + ix + \frac{(ix)^2}{2}=  1 - \frac{x^2}{2}+ ix$$

$$e^{ix}=  \cos(x) +i \sin(x) \tag{13}$$

(13) 식에 $x= \pi$ 를 대입해주면 테일러 공식이 완성됍니다. (13) 식은 편의상 $x^2$까지만 전개했지만, 태일러 급수식을 그대로 이용해서 전개해도 같은 결과를 얻을 수 있습니다. 

 

마치며

이상 테일러 근사법에 대해 살펴봤습니다. 혹시 설명이 부족하거나 잘못된 부분이 있다면 덧글이나 방명록으로 피드백 주시면 빠르게 수정하겠습니다. 

긴 글 읽어주셔서 감사합니다. 이 글이 도움이 되었다면 공감 버튼 한번 눌러주시기를 부탁드립니다.