필자는 요즘 경제학 강의를 듣고 있습니다. 경제학에서 자원의 분배를 그래프로 나타낼 때 굉장히 참신한 아이디어를 사용하는 것 같아 소개해보려고 합니다. 오늘의 주제는 에지워드 박스(Edgeworth box)입니다. 이 아이디어를 사용하면 자원의 분배를 하나의 좌표점으로, 자원의 교환을 좌표점의 이동으로 표현할 수 있습니다.

기본 아이디어

1. 한 종류의 자원 분배는 수직선 위에 나타낼 수 있다.

2. 두 종류의 자원 분배를 동시의 비교할 때는 두 수직선 합쳐 박스로 나타낸다.

3. 박스 안에서의 좌표는 자원의 분배를 나타낸다. 좌표의 이동은 자원의 분배가 바뀌는 것으로 거래(물물교환)를 의미한다.

4. 두 사람의 무차별 곡선을 그리고, 파레토 최적이 되는 점들을 모아 합리적인 거래가 일어나는 곡선을 예상한다.

에지워드 박스

에지워드 박스는 두 사람의 자원분배를 나타내는 그래프입니다. 개념을 설명하기에 앞서 간단한 예를 들겠습니다. 철수와 영이 두 사람이 자원 A, B를 다음과 같은 비율로 갖고 있다고 합시다.

[ 그림 1 ] 수직선으로 표현된 자원 분배

자원(A,B)을 하나씩 비교할 때는 [그림1]과 같이 수직선 하나에 점을 찍어 표현할 수 있습니다. 두 자원의 분배를 하나의 그림으로 합쳐서 표현해 봅시다. 

[ 그림 2 ] 에지워드 박스

[그림2]를 통해 한정된 자원 A, B를 철수와 영이가 어떻게 나누어 가졌는지 알 수 있습니다. [그림2]를 에지워드 박스라고 합니다. 에지워드 박스의 특이한 점은 원점이 2개라는 것입니다. 철수를 원점으로 생각하고 좌표를 읽으면, 철수가 가진 자원 A, B의 양을 알 수 있고, 영이를 원점으로 생각하고 좌표를 읽으면 영이가 가진 자원 A, B의 양을 알 수 있습니다. [그림2]에서 에지워드 박스의 너비는 자원A의 총량이고, 높이는 자원 B의 총량입니다.

무차별 곡선

에지워드 박스는 두 개의 효용함수를 겹쳐서 그린 것으로 생각할 수 있습니다. 두 자원 A. B가 good일 때, 철수와 영이의 무차별 곡선은 다음과 같습니다. 철수의 무차별 곡선을 파란색으로, 영이의 무차별 곡선을 빨간색으로 나타냅니다.

[ 그림 3 ] (좌) 철수의 무차별 곡선, (우) 영이의 무차별 곡선

철수의 경우 좌표가 오른쪽 위로 갈수록 자원 A, B를 많이 가지게 됩니다. 따라서 철수의 효용은 좌표가 오른쪽 위로 갈수록 증가합니다. 영이의 경우는 반대입니다. 영이는 좌표가 왼쪽 아래로 갈수록 자원 A, B를 많이 가지게 됩니다. 따라서 영이의 효용은 좌표가 왼쪽 아래로 갈수록 증가합니다.

파레토 최적화

무차별 곡선을 이용하면 쉽게 파레토 최적화를 할 수 있습니다. 파레토 최적화를 쉽게 설명하자면 "그 누구의 효용도 감소시키지 않으면서, 어떤 한 개인의 효용을 최대한으로 만드는 것"입니다. 영이의 효용을 고정해놓고(영이의 무차별 곡선 하나를 기준으로) 파레토 최적화를 생각해봅시다.

[ 그림 4 ] 영이의 무차별 곡선에서 철수의 효용이 최대가 되는 점

좌표가 영이의 무차별 곡선을 따라 움직인다고 생각합시다. 이때 철수의 효용이 최대가 되는 점은 [그림4]와 같이 영이의 무차별 곡선과 철수의 무차별 곡선이 한 점에서 만나는 점(두 곡선이 서로 접하는 점)입니다. 자원배분의 상태가 파레토 최적화를 만족하도록 바뀌는 것을 파레토 개선(Pareto Improvement)라고 합니다.

계약곡선

철수와 영이가 합리적으로 거래(물물교환)를 한다고 가정합시다. 상대방은 자신의 효용을 지키려고 할 것이고, 자신은 자신의 효용을 최대화 하는 방향으로 거래를 할 것이기 때문에, 자원분배는 거래를 통해 파레토 개선이 될 것입니다. 파레토 개선이 된 점들의 집합을 파레토 집합(Pareto set)이라 하며, 그 점들을 이어서 만든 곡선을 계약곡선(Contract curve)이라고 합니다.

[ 그림 5 ] 무차별 곡선의 접점을 이어 만든 계약곡선

[그림5]는 파레토 개선이 된 점들을 이어서 만든 계약곡선입니다. 계약곡선을 따라 점이 움직일 때는 어느 한쪽의 효용이 감소하면서 다른 한쪽의 효용이 증가하는 상황이 됩니다. 예를 들어 영이가 모든 자원을 전부 독점하고 철수는 자원이 거의 없다고 하더라도, 파레토 개선은 영이의 효용을 감소시키지 않습니다. 철수와 영이가 효용을 공평하게 나눠 갖도록 하기 위해서는 '균형'에 대한 개념이 필요하다고 합니다. 

마치며

필자는 원점을 2개 써서 그래프를 그리는 아이디어가 신기해  이포스팅을 준비하게 되었습니다. 내용이 길어져 상, 하로 나눠서 포스팅을 했습니다. 

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