$$ x_{n+1}= x_n - f(x_n) \frac{x_n - x_{n-1}}{f(x_n)- f(x_{n-1})} , \; \; n \ge 1 \tag2 $$

(2) 식은 할선법의 점화식입니다. 뉴턴의 방법에서 점화식과의 유사성을 알 수 있습니다. 할선법의 점화식에서 평균변화율을 미분계수로 치환하면 뉴턴법의 점화식이 됩니다.

$$f'(x_n) \approx \frac{f(x_n)-f(x_{n-1})}{x_n - x_{n-1}} \tag3$$

오차

뉴턴방법에서 했던 것과 같은 방법으로 할선법이 얼마나 빠르게 수렴하는지 알아보겠습니다. 여기서부터는 식의 결과만 나열하겠습니다. 

(2) 식을 미적분학의 기법과 대수 계산을 하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있습니다. f(x)의 근을 a라고 합시다. 

$f(a)=0, \alpha \in (a, x_n) , \beta \in (x_n , x_{n-1})$

$$a -x_{n+1} = (a-x_n)(a-x_{n-1}) \left[ \frac{-f''(\alpha)}{2 f'(\beta)} \right] \tag4 $$

오차의 크기를 간단히 보기 위해 (4) 식을 치환하여 정리합니다. 모든 항에 대해 $\left[ \frac{-f''(\alpha)}{2 f'(\beta)} \right]$의 값이 거의 같다고 가정합시다. 

$\varepsilon_n \equiv a-x_n , \left[ \frac{-f''(\alpha)}{2 f'(\beta)} \right]  = M $

$$\varepsilon_{n+1} = \varepsilon_{n} \varepsilon_{n-1} M \tag5$$

$= (\varepsilon_{n})^1 (\varepsilon_{n-1})^1 M^1$

$= (\varepsilon_{n-1})^2 (\varepsilon_{n-2})^1 M^2$

$ = (\varepsilon_{n-2})^3 (\varepsilon_{n-3})^2 M^3$

$ = (\varepsilon_{n-3})^5 (\varepsilon_{n-4})^3 M^3$

$ = (\varepsilon_{n-4})^8 (\varepsilon_{n-5})^5 M^4$