파동 방정식 유도 : 수학적 접근

기본적인 아이디어

1. 함수를 평행이동시켜 파동을 만든다.

2. 정의역의 변수들로 편미분하여 방정식을 만든다.

유도 과정

함수 $f(X)$를 $X$ 방향 $v$ 속도로 이동시킵시다. $f(X)$는 $t$초 후에 $vt$만큼 이동하므로 $X=(x-vt)$를 대입합니다. 반대 방향일 때는 $X=(x+vt)$를 대입합니다. 

$$\large y =f(x \pm vt) \tag 1 $$

(1) 식을 $x$와 $t$로 각각 2번씩 미분하겠습니다. 설명을 위해 $x$와 $X$를 구분해서 사용하고 있습니다. $X=x \pm vt$ 헷갈리지 않게 조심하시기 바랍니다.

$$\frac { dy }{ dx } =\frac { df(X) }{ dx } =\frac { dX }{ dx } \left( \frac { df(X) }{ dX }  \right) =\frac { df(X) }{ dX }  $$

$$ \frac { d^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } =\frac { d }{ dx } \left( \frac { df(X) }{ dX }  \right) =\frac { dX }{ dx } \left( \frac { d^{ 2 }f(X) }{ dX^{ 2 } }  \right) =\frac { d^{ 2 }f(X) }{ dX^{ 2 } } \tag 2 $$

$$\frac { dy }{ dt } =\frac { df(X) }{ dt } =\frac { dX }{ dt } \left( \frac { df(X) }{ dX }  \right) = \pm v \frac { df(X) }{ dX }  $$

$$ \frac { d^{ 2 }y }{ dt^{ 2 } } =\frac { d }{ dt } \left( \pm v\frac { df(X) }{ dX }  \right) =\frac { dX }{ dt } \left( \pm v\frac { d^{ 2 }f(X) }{ dX^{ 2 } }  \right) =v^{ 2 }\frac { d^{ 2 }f(X) }{ dX^{ 2 } }  \tag 3 $$

(2) 식과 (3) 식을 모두 $\frac { d^{ 2 }f(X) }{ dX^{ 2 } } $로 정리합니다. 이 값의 의미는 [파동방정식: 역학적 접근]을 참고하시기 바랍니다..

$$\large \frac { d^{ 2 }y }{ dx^{ 2 } } =\frac { 1 }{ v^{ 2 } } \frac { d^{ 2 }y }{ dt^{ 2 } } \tag 4 $$

(4) 식이 바로 파동방정식입니다. 

파동방정식이 의미하는 것은 '$y$방향 진동이 $x$축을 따라 $v$의 속력으로 진행한다'입니다. 유도과정에서 사용한 $f$와 $\pm$가 소거되었기 때문에, 이 방정식은 $f$모양과 진행 방향에 의존하지 않습니다. 

마치며

함수의 그래프를 움직여 파동방정식을 유도해 보았습니다. 앞으로는이 파동방정식이 역학,전자기학, 광학, 양자역학에서 어떻게 사용되는지 알아보겠습니다. 다음 포스팅에서는  [파동방정식: 역학적 접근]입니다. 긴 글 읽어주셔서 감사합니다. 설명이 부족했거나 포스팅 해주셨으면 하는 주제가 있다면 덧글이나 방명록으로 제보 부탁드립니다.

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