파동방정식 유도 : 역학적 접근

이 글은 [ 파동방정식 : 수학적 접근 ]과 이어지는 글입니다. 이전 글에서는  $v$의 속도로 움직이는 함수의 그래프로 파동방정식을 유도해보았습니다. 이번 글에서는 뉴턴 제2 법칙을 이용해 줄에서의 파동방정식을 유도하겠습니다. 

 

기본 아이디어

1. 뉴턴 제2 법칙 $F=ma$를 사용한다.

2. 길이가 $dl$인 줄의 일부 잡아 진동 방향 장력과 가속도를 생각한다. 

3. 최종 식에서 $dl$을 소거하여 줄의 길이에 무관한 방정식으로 만든다.

[그림1] $\vec y$ 방향으로 진동하고 $\vec x$ 방향으로 진행하는 파동.

 

역학적인 파동

역학에서 파동은 줄(매질)이 장력에 의해 진동하는 것입니다. 줄의 운동을 구체적으로 표현하기 위해 [그림1]에서 길이가 $dl$인 부분(이하 $dl$)을 잡아 [그림2]로 나타냈습니다. 이 줄은 선밀도가 $\mu$로 균일합니다. $dl$의 $x$방향 길이를 $dx$, $y$방향 길이를 $dy$라고 합시다. 

[그림2] $dl$에 작용하는 장력

장력

$x$부터 $x+dx$ 위치에 줄의 일부분인 $dl$가 있다고 합시다. [그림2]와 같이 $dl$의 양쪽 끝에 서로 다른 방향으로 장력이 작용합니다. 우리가 관심이 있는 것은 '파동의 진동에 관여하는 '장력의 $y$ 방향 성분입니다. 장력의 방향은 줄의 기울기 방향과 같습니다. $x$ 위치에서 줄의 기울기를 $\tan{\theta}$,  $x+dx$ 위치에서 기울기를 $\tan(\theta+d\theta)$로 나타냅시다. 설명의 편의를 위해 $\frac{dy}{dx} = y'$로 나타내겠습니다.

$$y'(x) = \tan(\theta) \tag 1 $$

$$y'(x+dx)=\tan(\theta+d\theta) \tag 2 $$

$y$의 방향을 $(+)$로 잡으면, $x$위치에서 장력은 $F_1=-T \sin(\theta)$ 이고, $x+dx$위치에서 장력은 $F_2= T \sin(\theta+d\theta)$입니다. 두 힘의 합력은 (3) 식과 같습니다. $dx$와 $d \theta$를 매우 작게 설정하면 [테일러 근사법]과 미분의 정의식을 이용할 수 있습니다.  $\sin \theta =\tan \theta$

$$ F = T \sin(\theta+d \theta)- T \sin(\theta) \tag3 $$

$$ F = T \tan(\theta+d \theta)- T \tan(\theta) \tag4 $$

$$ F = T \left\{ y'(x+dx)- y'(x) \right\} \tag5 $$

$$ F = T \left( \frac{y'(x+dx) - y'(x)}{dx} \right) dx \tag6$$

$$F= Tdx \left( \frac{d^2y}{dx^2} \right) \tag7 $$

(7) 식이 바로 $dl$에 작용하는 $y$방향 장력의 합력입니다. 

 

질량과 가속도에 대하여

$dl$의 질량은 선밀도$\mu$를 사용해 $m=\mu dl$로 나타낼 수 있습니다. $\theta$가 매우 작을 때는 $\cos(\theta)= \frac{dx}{dl}=1$이므로 근사적으로 $dl = dx$가 성립합니다. 따라서 질량은 (8) 식으로 표현됩니다. $$m=\mu dx \tag8 $$

$dl$의 $\vec y$방향 가속도는 $y$를 시간으로 2번 미분한 값입니다. $$a= \frac{d^2y}{dt^2} \tag9$$

 

파동방정식 유도 및 비교

(7), (8), (9) 식을 $F=ma$에 대입하고 정리하면 파동방정식을 얻습니다.

$$ \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\mu}{T} \frac{d^2y}{dt^2} \tag{10} $$

(10) 식이 줄에 작용하는 역학적 파동 방정식입니다. 이 방정식을 이전 포스팅에서 유도한 파동방정식과 비교해 봅시다. 

$$ \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{v^2} \frac{d^2y}{dt^2} \tag{11} $$

(10) 식과 (11) 식의 계수를 비교하면 파동의 속도와 장력, 선밀도의 관계를 알 수 있습니다.

$$v^2 = \frac{T}{\mu} \tag{12}$$

(12) 식을 통해 현악기의 원리를 설명할 수 있습니다. 자세한 내용은 [기타의 원리]를 참고하시기 바랍니다.

마치며

줄이 장력에 의해 진동할 때 발생하는 파동의 방정식을 유도해 보았습니다. 앞으로 전자기학, 광학, 양자역학에서의 파동방정식을 유도하고 그 의미를 알아보겠습니다. 긴 글 읽어주셔서 감사합니다. 

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