일어서는 나무

핀터레스트(pinterest)를 하던 중 우연히 재밋는 영상을 발견했습니다. 쓰러진 나무를 자르니, 나무가 다시 일어서는 영상입니다.  오늘은 이 영상에서 나무가 다시 일어서는 이유를 돌림힘(Torque)을 통해 알아보도록 하겠습니다. 

출처 : themetapicture.com

돌림힘이란?

돌림힘이란 '어떤 물체가 회전운동을 하기 위해 작용한 힘의 척도' 입니다. 돌림힘을 기호로 나타내면 $\vec {\tau}$이고, '토크'라고 읽습니다. 어떤 물체가 회전축에서 $\vec r$거리만큼 떨어져 있는 곳에서, $\vec F$ 의 힘을 받고 있을 때, 돌림힘(이하 토크)은 다음과 같이 나타납니다.

$$\vec \tau = \vec r \times \vec F \tag 1$$

영상 해석

(1) 식이 의미하는 것은, 토크$\tau$는 힘$F$의 크기가 작아도 회전축으로부터의 거리$r$가 충분히 크다면 큰 값을 가진다는 것 입니다. 이 영상에서 나무에 걸리는 토크를 생각해봅시다. 위의 영상에서 상황을 간단하게 그림으로 나타내면 아래와 같습니다. 나무가 땅에 닿아있는 부분(받힘점)을 원점으로 생각하고 토크를 구해보겠습니다.

오른쪽 : 시계방향 토크

왼쪽 : 반시계 방향 토크

나무 기둥의 무게$(F_2 + F_3)$는 흙의 무게$(F_1)$보다 가볍습니다. 하지만 나무기둥은 길쭉하기 때문에 무게중심이 회전축으로부터 더 멀리 떨어져 있습니다. 그래서 영상이 시작할 때, 돌림힘은 반시계 방향이 더 큽니다.  

$$\tau_1 < \tau_2 + \tau_3 \tag3$$

그림에서 왼쪽 나무기둥을 $a$위치를 기준으로 둘로 나눠 생각했습니다. $a$위치는 $\tau_1 = \tau_2$가 되게 하는 적당한 위치로 잡겠습니다 그러면 나무기둥이 $a$보다 길 때는 반시계방향 토크가 강하고, $a$보다 짧으면 반시계 방향 돌림힘이 더 강하게 됩니다. 영상이 시작될 때에는 나무기둥이 $a$보다 길어서 넘어진 상태를 유지할 수 있었습니다. 하지만 나무꾼이 나무 기둥의 길이를 $a$보다 짧게 깍으면서 나무는 반시계 방향으로 회전하게 됩니다. 

마치며