Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js

파동방정식 유도 : 역학적 접근

Posted by wbpark
2017. 7. 5. 23:44 물리 수학


이 글은 [ 파동방정식 : 수학적 접근 ]과 이어지는 글입니다. 이전 글에서는  v의 속도로 움직이는 함수의 그래프로 파동방정식을 유도해보았습니다. 이번 글에서는 뉴턴 제2 법칙을 이용해 줄에서의 파동방정식을 유도하겠습니다. 

 

기본 아이디어

1. 뉴턴 제2 법칙 F=ma를 사용한다.

2. 길이가 dl인 줄의 일부 잡아 진동 방향 장력과 가속도를 생각한다. 

3. 최종 식에서 dl을 소거하여 줄의 길이에 무관한 방정식으로 만든다.


[그림1] y 방향으로 진동하고 x 방향으로 진행하는 파동.

 

역학적인 파동

역학에서 파동은 줄(매질)이 장력에 의해 진동하는 것입니다. 줄의 운동을 구체적으로 표현하기 위해 [그림1]에서 길이가 dl인 부분(이하 dl)을 잡아 [그림2]로 나타냈습니다. 이 줄은 선밀도가 μ로 균일합니다. dlx방향 길이를 dx, y방향 길이를 dy라고 합시다. 


[그림2] dl에 작용하는 장력


장력

x부터 x+dx 위치에 줄의 일부분인 dl가 있다고 합시다. [그림2]와 같이 dl의 양쪽 끝에 서로 다른 방향으로 장력이 작용합니다. 우리가 관심이 있는 것은 '파동의 진동에 관여하는 '장력의 y 방향 성분입니다. 장력의 방향은 줄의 기울기 방향과 같습니다. x 위치에서 줄의 기울기를 tanθ,  x+dx 위치에서 기울기를 tan(θ+dθ)로 나타냅시다. 설명의 편의를 위해 dydx=y로 나타내겠습니다.

y(x)=tan(θ)

y(x+dx)=tan(θ+dθ)

y의 방향을 (+)로 잡으면, x위치에서 장력은 F1=Tsin(θ) 이고, x+dx위치에서 장력은 F2=Tsin(θ+dθ)입니다. 두 힘의 합력은 (3) 식과 같습니다. dxdθ를 매우 작게 설정하면 [테일러 근사법]과 미분의 정의식을 이용할 수 있습니다.  sinθ=tanθ

F=Tsin(θ+dθ)Tsin(θ)

F=Ttan(θ+dθ)Ttan(θ)

F=T{y(x+dx)y(x)}

F=T(y(x+dx)y(x)dx)dx


F=Tdx(d2ydx2)


(7) 식이 바로 dl에 작용하는 y방향 장력의 합력입니다. 

 

질량과 가속도에 대하여

dl의 질량은 선밀도μ를 사용해 m=μdl로 나타낼 수 있습니다. θ가 매우 작을 때는 cos(θ)=dxdl=1이므로 근사적으로 dl=dx가 성립합니다. 따라서 질량은 (8) 식으로 표현됩니다. m=μdx

dl의 y방향 가속도는 y를 시간으로 2번 미분한 값입니다. a=d2ydt2

 

파동방정식 유도 및 비교

(7), (8), (9) 식을 F=ma에 대입하고 정리하면 파동방정식을 얻습니다.


d2ydx2=μTd2ydt2


(10) 식이 줄에 작용하는 역학적 파동 방정식입니다. 이 방정식을 이전 포스팅에서 유도한 파동방정식과 비교해 봅시다. 

d2ydx2=1v2d2ydt2

(10) 식과 (11) 식의 계수를 비교하면 파동의 속도와 장력, 선밀도의 관계를 알 수 있습니다.

v2=Tμ

(12) 식을 통해 현악기의 원리를 설명할 수 있습니다. 자세한 내용은 [기타의 원리]를 참고하시기 바랍니다.


마치며

줄이 장력에 의해 진동할 때 발생하는 파동의 방정식을 유도해 보았습니다. 앞으로 전자기학, 광학, 양자역학에서의 파동방정식을 유도하고 그 의미를 알아보겠습니다. 긴 글 읽어주셔서 감사합니다. 


이 글이 도움이 되셨다면 공감 버튼 한번 눌러주시기를 부탁드립니다.